为什么两个矩阵合同秩相同

两个矩阵合同、秩相同的原因为：合同关系可以推出来等价关系。

由定义，假设A，B合同，则存在同阶可逆阵P，使得B = P(转置)AP。因为P是可逆阵，其转置矩阵也是可逆阵。而我们知道可逆阵可以写成若干初等矩阵的乘积，所以P的转置和P都可写成若干初等矩阵的乘积，分别乘在A的两边。

另外，矩阵左右乘上初等矩阵就相当于给矩阵做初等行，列变换，而初等变换并不改变矩阵的秩。所以，P(转置)AP 即是给A做了若干次初等变换后得到了B，而秩并未改变。所以，r(A)= r(B)，A与B等价。