已知4的a次方乘以8的b次方=32，求3ab的取值范围

我们可以将 $4^a\times 8^b$ 化简为 $2^{2a}\times 2^{3b} = 2^{2a+3b}$，然后将 $32$ 化为 $2^5$，得到：

$$2^{2a+3b}=2^5$$

因为 $a$ 和 $b$ 是整数，所以 $2a+3b$ 也是整数，所以以上等式的解为：

$$2a+3b=5$$

解这个方程得到：

$$b=\frac{5-2a}{3}$$

因为 $b$ 是整数，所以 $5-2a$ 必须是 $3$ 的倍数。因此 $a$ 的取值可以为 $0$，$1$，$2$。当 $a=0$ 时，$b=\frac53$ 不是整数，因此 $a$ 不能等于 $0$。因此 $a$ 的取值范围是 $1\leq a\leq 2$。因为 $3ab=3a\times\frac{5-2a}{3}=5a-2a^2$，所以 $3ab$ 的取值范围是 $3\leq 3ab\leq 15$，即 $1\leq 3ab\leq 5$。

已知4的a次方乘以8的b次方=32，求3ab的取值范围

关于这个问题，首先，我们可以将已知的等式写为指数的形式：

4^a * 8^b = 32

由于 4 = 2^2 和 8 = 2^3，我们可以将上述等式重写为：

(2^2)^a * (2^3)^b = 32

将指数的乘法转化为指数的加法：

2^(2a) * 2^(3b) = 32

根据指数的运算法则，当底数相同时，指数相加。因此，上述等式可以进一步化简为：

2^(2a + 3b) = 32

由于 32 = 2^5，我们可以将上述等式进一步化简为：

2^(2a + 3b) = 2^5

根据指数的运算法则，当底数相同时，指数相等。因此，我们可以得到以下等式：

2a + 3b = 5

现在我们需要求解 3ab 的取值范围。首先，我们将上述等式转化为关于 a 的方程：

a = (5 - 3b) / 2

然后，我们将 a 代入 3ab 中：

3ab = 3 * [(5 - 3b) / 2] * b

化简上述表达式，得到：

3ab = (15b - 9b^2) / 2

为了求解 3ab 的取值范围，我们需要考虑两个方面：

1. 分子的取值范围：15b - 9b^2。这是一个二次函数，开口朝下，因此最大值出现在两个根之间。根据二次函数的性质，我们可以得到 15b - 9b^2 的最大值为 15/6 = 2.5。

2. 分母的取值范围：2。分母为正数，不会影响 3ab 的取值范围。

因此，3ab 的取值范围为 (-∞, 2.5]。