要证明函数 f(x) = x * cos(x) 是否是有界函数，我们需要证明存在一个常数 M，使得对于所有的 x，有 |f(x)| ≤ M。
我们可以先找到函数 f(x) 在某个区间上的上界和下界。
首先，注意到函数 f(x) 是连续函数。我们可以使用导数来找到函数的最大值和最小值。
1. 首先计算函数的导数 f'(x)。对 f(x) = x * cos(x) 使用乘积法则和链式法则，可以得到 f'(x) = cos(x) - x * sin(x)。
2. 我们需要找到 f'(x) 的零点，也就是函数的极值点。对于任意的 x，如果 f'(x) = 0，则可能是函数 f(x) 的极值点。我们可以使用数值方法（如牛顿迭代法）来找到 f'(x) = 0 的解。
3. 在求导使用数值方法之后，我们找到了极值点的 x 值。然后，我们计算函数在这些极值点和区间的端点处的值，找出这些值的最大值和最小值。
4. 最后，我们在找到的最大值和最小值之间取绝对值的较大者，即可找到函数的有界性。
举例来说，我们可以在一个特定的区间上进行操作，如 x 属于[-π, π]。然后按照上面所述的步骤，计算函数的导数、找到极值点、求最大值和最小值。经过计算，我们发现在此区间上，函数 f(x) = x * cos(x) 是有界的。