函数的连续性与间断点是数学中一个重要的概念。连续函数在一个区间内的取值是连续的，而间断点则是函数在某个点处不连续的地方。
一个常见的例题是：给定函数 f(x) = 2x + 1 ，判断其在 x = 1 处的连续性。
我们知道，连续函数的定义是：对于任意给定的 ε > 0 ，存在一个 δ > 0 ，使得当 x - a < δ 时，有 f(x) - f(a) < ε 成立。
对于这个例题，我们可以先求出 f(1) = 3。然后，我们需要判断是否存在一个 δ ，使得当 x - 1 < δ 时，有 f(x) - 3 < ε 成立。
假设我们取 ε = 0.5，那么我们需要找到一个 δ ，使得当 x - 1 < δ 时，有 2x + 1 - 3 < 0.5 成立。
化简不等式得到 2x - 2 < 0.5，进一步得到 -0.25 < x - 1 < 0.25。
因此，我们可以取 δ = 0.25，满足当 x - 1 < 0.25 时，有 f(x) - 3 < 0.5 成立。
因此，函数 f(x) = 2x + 1 在 x = 1 处是连续的。
通过这个例题，我们可以理解函数的连续性与间断点的概念，并掌握判断连续性的方法。在实际问题中，连续性的理解和应用也是非常重要的。