共轭双曲线是指两条具有特殊位置的双曲线，如果一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线。
它们有相同的渐近线，并且4个焦点共圆，它们的离心率的平方之和等于它们的离心率的平方之积。
共轭双曲函数定义
双曲函数
sinhx=[e^x-e^(-x)]/2
coshx=[e^x+e^(-x)]/2
另外四个用这两个导出。
反函数
arsinhx=ln[x+sqrt(x^2+1)]
arcoshx=ln[x-sqrt(x^2-1)]
双曲函数和三角函数有着很类似的性质，最本质的联系等你学过Euler公式就能推导了。
反双曲函数就是双曲函数的反函数．．．如y=shx．是双曲正弦．它的反函数y=arshx就是反双曲函数．同样有y=chx,双曲余弦．．y=archx,就是反双曲函数
共轭双曲函数定义
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．
共轭双曲线有共同的渐近线；
共轭双曲线的四个焦点共圆．
例 过双曲线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点，求证：过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一顶点．
点A′．
方程：x2/a2-y2/b2=1与y2/b2-x2/a2=1互为共轭双曲线
双曲线与椭圆有哪些不同？
（1）定义不同，图形不同。
（2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。
一类是等轴双曲线。其主要性质有：a=b，离心率为根号2，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线：而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。