椭圆的基本方程
(1) 标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
(2) 参数形式：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
其中，(h, k) 是椭圆的中心，a 是椭圆的半长轴长度，b 是椭圆的半短轴长度。
推导椭圆基本方程的方法有以下几种：
1. 直接法：通过定义和性质直接推导出椭圆的基本方程。
对于任意一点 P(x, y)，根据椭圆的定义，有√((x-h)^2+(y-k)^2)=|OP|=r（r为常数）。当 r>a 时，点 P 在椭圆外；当 a-b<=r<=a+b 时，点 P 在椭圆上；当 r<a-b 时，点 P 在椭圆内。因此，我们可以得到椭圆的基本方程为：√((x-h)^2+(y-k)^2)=r。
2. 极坐标法：通过极坐标与直角坐标的转换关系，将椭圆的极坐标方程转换为直角坐标方程。
椭圆的极坐标方程为：ρ=ep/(1-ecosθ)，其中 e 是离心率，p 是焦点到中心的距离。将极坐标方程两边同时乘以 p，得到 p^2=ep/(1-ecosθ)*p，化简得到 p^2+ep*p*cosθ-ep=0。这是一个关于 p 的二次方程，其解就是 p 的可能值，即椭圆的长轴和短轴的长度。然后，将 p 的值代入极坐标方程，得到 x^2/a^2+y^2/b^2=1。
3. 向量法：通过向量的运算，将椭圆的参数方程转换为直角坐标方程。
椭圆的参数方程为：x=h+ae*cosθ， y=k+be*sinθ，其中 a、b、e 是椭圆的参数。将参数方程代入直角坐标方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1，得到 (h+ae*cosθ)^2/a^2+(k+be*sinθ)^2/b^2=1。这是一个关于 e、θ 的二次方程，其解就是 e、θ 的可能值，即椭圆的形状和位置。