利用函数的导数的定义证明，导数的定义为函数的增量比上自变量的增量，取自变量增量趋向于0的极限。即f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx。将定义中的函数用余弦函数代入，有
(cosx)'=lim(Δx→0)
[cos(x+Δx)-cosx]/Δx
利用和差化积公式
cosα-cosβ=
-2sin(α+β)/2*sin(α-β)/2
将[cos(x+Δx)-cosx]恒等变换，等于
-2sin(x+Δx/2)*sinΔx/2
代入(cosx)'，有
(cosx)'=lim(Δx→0)
-2sin(x+Δx/2)*sinΔx/2/Δx
=－sinx
所以，cosx的导数为－sinx，即(cosx)'=－sinx。
什么的导数等于sinx
(sinx)^2 = [1 - cos(2x)]/2 所以, x/2 - sin(2x)/4 + C 的导数是（sinx)^2, 其中,C为任意常数.