两个无穷小的商是否一定为无穷小

投稿:心岛初晴 优质问答领域创作者 发布时间:2023-10-23 22:44:16
两个无穷小的商是否一定为无穷小

是的,如果两个无穷小(或者趋近于零的量)的商,其中分母不是无穷大,那么这个商仍然是无穷小。这个性质可以通过极限的定义来证明。

设\(a_n\)和\(b_n\)分别表示两个无穷小数列,其中\(b_n\)不是无穷大。如果\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) 和 \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\),那么我们可以考虑它们的商\(c_n = \frac{a_n}{b_n}\)。

我们知道,由于\(b_n\)不是无穷大,它在极限过程中也趋近于零。所以在\(b_n\)不等于零的情况下,如果\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\),那么\(\lim_{n \to \infty} c_n = 0\)。因此,\(c_n = \frac{a_n}{b_n}\)也是一个无穷小数列。

这种性质说明了,在分母不是无穷大的情况下,两个无穷小的商仍然是无穷小。