单调有界数列必有极限存在准则是数学中的一个重要定理，它说明了如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个数列一定有极限存在。
让我们来证明这个定理：
**定理：** 如果一个数列 {a_n} 单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个数列一定有极限存在。
**证明：** 我们将分成两种情况来证明：
**情况 1：** 假设数列 {a_n} 单调递增且有上界。我们知道上确界（supremum）存在，令 M = sup{a_n}（这是上界中的最小上界），那么对于任意 ε > 0，存在某个正整数 N，使得对于所有 n > N，都有 a_n ≤ M。这是因为 M 是上确界，所以不存在更小的上界。
现在考虑 ε > 0，我们可以看到 M - ε 不再是上界，因为 M 是上确界，所以存在某个 a_N > M - ε。由于数列单调递增，对于所有 n > N，都有 a_n ≥ a_N ≥ M - ε。这说明 {a_n} 在 N 之后始终保持在区间 [M - ε, M] 内。
因此，根据极限的定义，{a_n} 的极限是 M。
**情况 2：** 类似地，如果数列 {a_n} 单调递减且有下界，可以使用相同的方法证明它的极限存在。
综上所述，单调有界数列必有极限存在。这个定理的应用非常广泛，可用于证明各种数列的极限存在，从而解决数学问题。