基本不等式通常指的是数学中的柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。这两个不等式的证明如下：
1. 柯西-施瓦茨不等式：
柯西-施瓦茨不等式用于内积空间（如内积向量空间）中的向量。对于两个向量a和b，其内积定义为a·b。柯西-施瓦茨不等式陈述如下：
对于任何两个向量a和b，有：|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||表示向量a的范数，||b||表示向量b的范数。
证明：
假设a和b是非零向量，然后考虑实数t。我们可以构造一个实函数f(t) = ||ta - b||^2，然后证明f(t)的最小值为0。通过计算f(t)的导数并令其等于零，可以得出柯西-施瓦茨不等式。
2. 三角不等式：
三角不等式适用于度量空间中的任何两个元素。对于实数a和b，三角不等式陈述如下：
对于任何实数a和b，有：|a + b| ≤ |a| + |b|。
证明：
三角不等式可以通过考虑两个数a和b的不同情况来证明，包括它们的符号和大小关系。证明的核心思想是，绝对值函数是非负的，并且对于任何实数x，|x| = x 或 |x| = -x。通过分析这些情况，可以证明三角不等式成立。
这些基本不等式在数学中具有广泛的应用，特别是在向量空间、距离度量和实数集合中。它们为许多数学和物理问题的解决提供了重要的工具。