连续自然数的平方和公式可以通过求和公式推导得出。以下是一种常见的推导方法：
假设要计算的连续自然数从1开始，到n结束。那么我们可以先计算每个数的平方，再将它们相加。
第一个数的平方是1^2 = 1；
第二个数的平方是2^2 = 4；
第三个数的平方是3^2 = 9；
依此类推，第n个数的平方是n^2。
将这些平方相加得到平方和，即1 + 4 + 9 + ... + n^2。
可以观察到，每个平方是前一个平方加上前一个奇数。例如，4是1+3，9是4+5，16是9+7，以此类推。
因此，平方和可以表示为：
1 + (1+3) + (1+3+5) + ... + (1+3+5+...+(2n-1))
我们可以对这个求和式进行简化。每个括号内的求和式可以用等差数列求和公式来计算。
首先，第k个括号内的求和式为 1+3+5+...+(2k-1)。这个等差数列的公差是2，首项是1，最后一项是2k-1。根据等差数列求和公式，可得：
1+3+5+...+(2k-1) = k(2k-1)/2 = k(2k-1)
将这个结果代入原始的平方和公式中得：
1 + (1+3) + (1+3+5) + ... + (1+3+5+...+(2n-1))
= 1×(1) + 2×(1+3) + 3×(1+3+5) + ... + n×(1+3+5+...+(2n-1))
= (1×1) + (2×1+2×3) + (3×1+3×3+3×5) + ... + (n×1+n×3+...+n×(2n-1))
= 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
所以，连续自然数的平方和公式为：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6