当我们讨论一个函数在某点的极限时，我们希望探讨的是当自变量趋近于该点时，函数的取值是如何变化的。
我们用数学语言来定义函数极限。设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义，我们说当x无限接近a时，f(x)的极限为L，即lim(x→a)f(x) = L，如果满足以下条件：
1. 对于任意正实数ε，存在正实数δ，使得当0 < x - a < δ时，有f(x) - L < ε。
这个条件表示当x在足够接近a的地方，f(x)的取值将会无限接近L。
2. 我们要求x在a的去心邻域内，但不等于a。这是因为我们关注的是函数在a附近的变化情况，而不是在点a本身的取值。
总结起来，函数极限的定义要求当自变量无限接近某个点时，如果函数的取值能够在某个范围内无限接近某个常数L，我们就说函数在该点的极限为L。
这是简要的函数极限定义的证明，希望能对你有所帮助。如有疑问，请随时提出。
如何用极限定义证明函数极限
函数极限的定义证明方法有很多种，其中一种是 ε-δ 语言定义法。
这种方法的基本思路是：当自变量 x 无限接近某一定值 x0 时，函数 f(x) 的值 f(x0) 无限接近一个常数 A，即 f(x) - A < ε。这里的 ε 是一个很小的正数，通常用希腊字母 ε 表示。δ 是一个很小的正数，表示为 x - x0 < δ，意思是当自变量 x 与 x0 之差的绝对值小于 δ 时，函数 f(x) 的值 f(x0) 无限接近一个常数 A。