柯西不等式是数学中的一种重要不等式，用于描述内积空间中向量之间的关系。柯西不等式的一般形式可以通过向量和内积的定义及数学推理来证明。
定义：对于一组向量x₁, x₂, …, xn 和一组实数a₁, a₂, …, an，内积定义为：
<x, y> = a₁b₁ + a₂b₂ + … + anbn
其中，b₁, b₂, …, bn 是向量y的分量。
根据内积的定义，可以得到以下推论：
对于任意向量x和y，有：
||x + y||² = <x + y, x + y>
= ||x||² + 2<x, y> + ||y||²
因此，
|x + y|² - 2<x, y> = |x|² + |y|²
接下来，我们需要证明这个式子变形后的形式即为柯西不等式。
首先，如果y=0，则有：
<x, y> = 0
因此，对于所有实数x，都有
|x||y| ≥ 0
即
|x||y|² ≤ |x|²|y|²
如果y≠0，则令c=\<x,y>/||y||²，即c为x在y上的正交投影。则有：
|x - cy|² = ||x||² - 2c\<x,y> + c²||y||²
由于c为x在y上的正交投影，因此有：
c = \<x,y>/||y||² ≤ |x|/||y||
因此，
-2c\<x,y> ≥ -2|x||y|
于是有：
||x - cy||² ≥ ||x||² - 2|x||y| + (|x||y|/||y||)²||y||²
= |x|² - 2|x||y| + |x||y|²/||y||²
= (|x||y| - \<x,y>)²/||y||²
因此，
(\<x,y>)²/||y||² ≤ |x|²|y|²
即
|\<x,y>| ≤ |x||y|
所以，
|\<x,y>|/|x||y| ≤ 1
这就是柯西不等式的一般形式。证毕。