最小值为1。
证明：
设f(x)=e^x,则f'(x)=e^x。
当x>0时，f'(x)>0,即函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当x<0时，f'(x)<0,即函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减。
因此，函数f(x)在x=0处取得极小值，也是最小值。
又因为e>1,所以当x=0时，f(x)取得最小值1。
e的x次方图像最小值
e的x次方没有最小值。但它有个为零的极限。
现说明如下：
此处的指数函数的底e是无穷数列（1+1／n）的n次方当n→∝时的极限。e＝2.718……，即e＞1。底大于1的指数函数在其定义域内是单调递增函数。当x→+∝时e的x方→+∝，当x→-∝时，e的x次方→0，即当x→-∝时e的极限为0。
e的x次方图像最小值
++e的x次方图像没有最小值。
原因是：e的x次方是一个上凸函数，也就是说，随着x的增大，函数值会越来越大，但是在x趋近于负无穷的时候，函数值将趋近于0。
虽然函数值在最低点处没有停留，但可以达到任何负数。
因此，e的x次方图像没有最小值。
延伸内容：e的x次方函数在微积分中有广泛的应用，在数学上被称为指数函数。
它的导数等于自身，是微积分中经典的“自导函数”。
指数函数在自然科学中也有很重要的应用，比如电路中的放大器等。
e的x次方图像最小值
e的x次方是一个指数函数，而且还是一个底数大于一的递增函数，所以它的没有最小值。