证明π是无理数是一个历史悠久的问题，自从古希腊数学家、哲学家及神父的证明以来，已有许多数学家提出了各种不同的证明方法。以下是一种基于极限和连续性的证明方法：
假设π是有理数，那么它可以表示为两个互质整数p和q的比值，即π = p/q。我们将这个等式放大和缩小，使p和q发生变化，从而得到一个新的等式。
设π = p/q，那么我们可以得到以下两个等式：
1. πq = p
2. πp = q
将第一个等式乘以π，得到：
π²q = πp
将第二个等式乘以q，得到：
π²q = q²
接下来，我们将两个等式相减：
π²q - q² = πp - qπ
注意到左边的式子可以因式分解为：
(πq - q)π = 0
由于π和q都是非零整数，所以πq ≠ q。因此，我们可以得出结论：
πq - q = 0
这意味着πq = q，这与我们的假设矛盾。因此，假设π是有理数的假设是错误的。所以，π是无理数。
这个证明过程利用了极限和连续性的概念，展示了假设π是有理数的矛盾。这是证明π是无理数的一种方法，当然还有其他许多证明方法。