设数列{a_n}为自变量 n 的函数，如果对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在一个正整数 N，使得当 n>N 时，a_n - L < ε，其中 L 为常数，那么就称 L 为数列{a_n}的极限。
下面用数列极限的定义证明一个例子：
证明：对于任意的正数ε（无论多么小），数列{1/n}的极限为 0。
证：对于任意给定的正数ε，我们要证明存在一个正整数 N，使得当 n>N 时，1/n - 0 < ε。
解：取 N = 1/ε，那么当n > N 时，有 1/n < 1/ε。因此，对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N（如1/ε），使得当n>N时，1/n - 0 < ε。
所以，数列{1/n}的极限为 0。
这个例子展示了如何使用数列极限的定义进行证明。首先，我们设定一个目标极限 L（这里是 0），然后找到一个与给定的正数ε相关的正整数 N，使得当 n>N 时，数列{a_n}与 L 的差值小于ε。这样，我们就证明了数列{a_n}的极限为 L。