在线性代数中，如果一个矩阵有三个不同的特征值，那么对应于这三个特征值的特征向量是线性无关的。这意味着这三个特征向量不能通过任何非零标量的线性组合得到彼此。当特征向量线性无关时，它们就是正交的。
更具体地说，如果一个矩阵 \( A \) 有三个不同的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \)，并且对应于这些特征值的特征向量分别是 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \)，那么它们满足以下条件：
1. \( A\mathbf{v}_1 = \lambda_1\mathbf{v}_1 \)
2. \( A\mathbf{v}_2 = \lambda_2\mathbf{v}_2 \)
3. \( A\mathbf{v}_3 = \lambda_3\mathbf{v}_3 \)
如果 \( \lambda_1 \neq \lambda_2 \neq \lambda_3 \)，并且 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \) 是线性无关的，那么它们是正交的。这是因为在这种情况下，特征向量构成了矩阵 \( A \) 的一个特征向量组，而线性无关的特征向量组总是正交的。
需要注意的是，这个结论只对于三个不同特征值的情况成立。如果矩阵有重复的特征值，那么情况会更加复杂。