九点圆定理（也称作费马点）是指在任意三角形中，三条高线的垂足、三条中位线的中点以及三角形的外心共圆于一个圆，且该圆的直径等于三角形的欧拉线段。
以下是简要的九点圆定理证明的步骤：
1. 假设ABC是一个三角形，分别连接AB、BC和CA上的三条高线，并标记它们的垂足为D、E和F。
2. 证明EF垂直于BC：通过证明三角形BFD和CEB相似，可以得出EF垂直于BC的结论。这是因为∠BFD和∠CEB都是直角，且∠BFD=∠CEB（两个角均为BAC的余角）。
3. 类似地，证明FD垂直于AC，DE垂直于AB。这可以通过类似的相似三角形证明得出。
4. 接下来，我们证明三条中位线的中点G、H和I共线。连接DH和GI，并证明DH与GI平行。可以使用向量、角度或者相似三角形的方法进行证明。
5. 由于DH与GI平行，根据平行线性质，我们可以得出角CDA = ∠GDI。同样地，我们可以得到∠BCF = ∠GDI。因此，∠CDA = ∠BCF。
6. 类似地，可以证明∠ADB = ∠HDI和∠BEC = ∠FHI。
7. 由于∠CDA = ∠BCF、∠ADB = ∠HDI和∠BEC = ∠FHI，根据相等角的对应弧相等的性质，可以得出AEFD是一个圆，并且它的直径为CF。
综上所述，通过以上步骤可以证明任意三角形中的九个特殊点共圆于一个以欧拉线段为直径的圆，即九点圆定理成立。该证明可以使用不同的方法和几何原理进行推导，具体的证明过程可能会更加复杂和详细。