设长为L，宽为W，则长方形的周长为2(L+W)。
已知周长C，代入上面的式子得：
2(L+W) = C
移项可得：L+W = C/2
因为长方形的面积为S=L×W，而已知L+W=C/2，所以可以将面积表示为：
S = L × W = L × (C/2 - L)
将L×(C/2 - L)展开得到：S = C/2×L - L^2
此时，S是关于L的二次函数，它的抛物线开口向下。最大值出现在对称轴L=C/4的位置，此时的最大值是S=C^2/16。
因此，当长方形的周长为C时，它的面积的最大值是C^2/16。
已知长方形的周长，求面积
已知长方形的长为 $l$，宽为 $w$，则其周长为
$C = 2l + 2w$
已知周长 $C$，则解出长 $l$：
$l = frac{C-2w}{2}$
将 $l$ 带入长方形的面积公式 $S=lw$ 中，则长方形的面积为：
$S = frac{C-2w}{2} cdot w = frac{1}{2}Cw - w^2$
当求得上式的极大值时，可得到长方形面积的最大值。可令上式求导，令其等于零，则得到：
$frac{dS}{dw} = frac{1}{2}C - 2w = 0$
解出 $w = frac{C}{4}$，将其带入上式可得：
$S_{max} = frac{1}{2}C cdot frac{C}{4} - (frac{C}{4})^2 = frac{C^2}{16}$
所以，已知长方形的周长为 $C$，则其面积最大值为 $frac{C^2}{16}$。