双曲线第一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
【例1】设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2：（x-√5)2+y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切．求动圆C的圆心轨迹L的方程；
【分析】（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，
∴|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|＝2，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，b＝1，
双曲线的方程为：x2/4-y2=1(x≥2)；
双曲线第一定义证明过程
证明过程是基于到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹进行的。设两定点为F1(-c,0), F2(c,0)，则根据双曲线的第一定义，到两定点距离之差为2a的点的轨迹为双曲线。根据双曲线的方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中c^2=a^2+b^2，将其变形得到 b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2，即 (b^2x^2-a^2y^2)/a^2b^2=1。由此可知，双曲线上的点到两定点距离之差为2a，因此双曲线第一定义得证。
双曲线第一定义证明过程
假设有一个点 F 和一条直线 l，现在我们要在平面上找到所有与点 F 到直线 l 的距离之比等于常数 e（即双曲线的离心率）的点 P。其中，e > 1。
首先，我们在直线 l 上找到两个点 A 和 B，并且将这两个点到点 F 的距离之差记为 2a，即：
AB = 2a
接下来，我们在点 F 的对称轴上选择一条垂线，并将其与直线 l 相交于点 O。然后，我们从点 O 开始以长度为 a 的尺子画一个圆，并将圆与对称轴相交于点 C 和 D。
然后，我们以 A 和 B 为中心，以 CA 和 DB 的长度为半径分别画两个圆，并将它们相交于点 P。由于 CA 和 DB 的长度均为 a，因此 AP 和 BP 的长度之差也为 2a。
最后，我们可以证明，点 P 到直线 l 的距离之比恰好等于常数 e。这是因为，根据勾股定理，我们可以得出：
PA² = PB² + AB²
将 AB 的长度代入上式，得到：
PA² = PB² + (2a)²
PA² - PB² = 4a²
(PA + PB)(PA - PB) = 4a²
由于 PA - PB = e × (PA + PB)，因此：
PA + PB = （4a²）/（e × (PA + PB)）
PA + PB = 2a/e
PA / AB = (PA + PB) / AB = 2a / (e × AB)
因此，点 P 到直线 l 的距离之比等于常数 e，证明完成。
双曲线第一定义证明过程
双曲线是在平面直角坐标系中定义的一种几何图形，其定义是所有点到两个定点的距离之差等于定值的点的轨迹。证明双曲线第一定义的过程如下：
1. 假设有两个定点F1和F2，且它们之间的距离为2c。
2. 在平面直角坐标系中取点P(x,y)，并假设PF1和PF2的距离之差为a，即PF2 - PF1 = a。
3. 根据勾股定理，可以得到PF1的距离为sqrt((x-c)^2+y^2)，PF2的距离为sqrt((x+c)^2+y^2)。
4. 将上述表达式带入PF2 - PF1 = a中，得到sqrt((x+c)^2+y^2) - sqrt((x-c)^2+y^2) = a。
5. 对上述方程两边平方，并移项整理，可以得到：x^2 / c^2 - y^2 / c^2 = 1 + a^2 / c^2，这是双曲线第一定义的基本方程。
由此证明了双曲线第一定义的正确性。
双曲线第一定义证明过程
关于这个问题，双曲线的第一定义是：对于给定的两个点 F1 和 F2，到这两个点的距离之差为定值的所有点 P 的集合形成的图形。
证明过程如下：
假设有两个点 F1 和 F2，到这两个点的距离之差为常数 c。
现在取一个点 P，它到 F1 和 F2 的距离分别为 d1 和 d2。
根据定义，有 d1 - d2 = c。
将上式变形得到 d1 = d2 + c。
我们知道，到两个点的距离之和为常数 k，即 d1 + d2 = k。
将 d1 = d2 + c 带入上式，得到 d2 + c + d2 = k，即 d2 = (k - c) / 2。
由于 d1 和 d2 是实数，所以 k >= c，即 k - c >= 0。
因此，当 k > c 时，存在一个点 P 满足到 F1 和 F2 的距离之差为常数 c。
反之，当 k = c 时，所有点 P 都满足到 F1 和 F2 的距离之差为常数 c。
综上所述，对于给定的两个点 F1 和 F2，到这两个点的距离之差为常数 c 的所有点 P 的集合形成的图形是一个双曲线。