你好，三项式定理：$$(a+b+c)^n=\sum_{i+j+k=n}\binom{n}{i,j,k}a^ib^jc^k$$ 其中，$\binom{n}{i,j,k}=\frac{n!}{i!j!k!}$，$i,j,k$满足$i+j+k=n$。
要求三项式定理的常数项，即让$i=j=k$，这时有$$\binom{n}{i,i,i}=\frac{n!}{i!i!i!}=\frac{n!}{(i!)^3}$$ 常数项为$$\frac{(a+b+c)^n+2(a^n+b^n+c^n)}{3}$$
其中，$(a+b+c)^n$可以使用快速幂算法进行快速求解，$a^n+b^n+c^n$可以使用快速幂算法结合等比数列求和公式进行快速求解。
三项式定理常数项快速求法
关于这个问题，三项式定理是指：
$$(a+b+c)^n=\sum_{i+j+k=n}\binom{n}{i,j,k}a^ib^jc^k$$
其中，$\binom{n}{i,j,k}$ 是组合数，其定义为：
$$\binom{n}{i,j,k}=\frac{n!}{i!j!k!}$$
求三项式定理中常数项的快速方法如下：
首先，当 $i+j+k=n$ 时，$\binom{n}{i,j,k}$ 的值为 $1$，否则其值为 $0$。
因此，当 $a+b+c=0$ 时，即 $a=-b-c$，只有当 $i$ 和 $j$ 的奇偶性相同且 $k$ 为偶数时，常数项才不为 $0$。
因此，我们可以将 $n$ 拆分成 $n=2m$ 或 $n=2m+1$ 两种情况，然后分别计算出 $i,j,k$ 的奇偶性相同的所有情况下 $\binom{n}{i,j,k}$ 的和，即可得到常数项的值。
具体做法可以参考下面的 Python 代码：
```python
def constant_term(a, b, c, n):
if a + b + c != 0:
return 0
m = n // 2
# 偶数项
sum_even = 0
for i in range(0, m+1, 2):
for j in range(0, m+1-i, 2):
k = m - i - j
if k % 2 == 0:
sum_even += math.comb(n, (i, j, k))
# 奇数项
sum_odd = 0
for i in range(1, m+1, 2):
for j in range(1, m+1-i, 2):
k = m - i - j
if k % 2 == 0:
sum_odd += math.comb(n, (i, j, k))
return sum_even - sum_odd
```
其中，`math.comb(n, (i, j, k))` 是 Python 自带的计算组合数的函数。
三项式定理常数项快速求法
您好，三项式定理是指 $(a+b+c)^n$ 的展开式，其中 $n$ 是正整数。展开式中每一项的系数可以通过组合数 $\binom{n}{i,j,k}$ 来计算，其中 $i,j,k$ 是非负整数，且 $i+j+k=n$。常数项指展开式中幂次为 $0$ 的项，即 $a^0b^0c^0$ 的系数。
常数项的求法有多种，以下介绍一种快速的方法。
首先，我们将三个变量 $a,b,c$ 看做三个人，他们需要在 $n$ 个任务中选择一些任务来完成。我们将任务分成三类：由 $a$ 单独完成的任务、由 $b$ 单独完成的任务、由 $c$ 单独完成的任务，以及由两个或三个人共同完成的任务。设第一类任务的数量为 $i$，第二类任务的数量为 $j$，第三类任务的数量为 $k$，第四类任务的数量为 $n-i-j-k$。那么常数项的系数就是：
$$\binom{n}{i,j,k}=\frac{n!}{i!j!k!(n-i-j-k)!}$$
这个式子的意义是：从 $n$ 个任务中选择 $i$ 个由 $a$ 完成的任务，选择 $j$ 个由 $b$ 完成的任务，选择 $k$ 个由 $c$ 完成的任务，选择 $n-i-j-k$ 个由两个或三个人共同完成的任务的方案数。注意到这里没有考虑任务的顺序，因此需要除以 $i!j!k!(n-i-j-k)!$，得到不同的任务选择方案数。
为了求出常数项系数的值，我们需要枚举 $i,j,k$ 的所有可能取值。由于 $i+j+k=n$，因此 $i$ 和 $j$ 的取值范围是 $0\le i,j\le n$，而 $k=n-i-j$。这样，我们只需要枚举 $i,j$ 两个变量，就可以计算出常数项系数的值。
时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$，比直接计算组合数的时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$ 要快很多。
三项式定理常数项快速求法
三项式，数学名词，指初等代数中项数为3的多项式，即三个单项式相加的和。
常数项不需要求啊，二次三项式指的就是形如ax^2+bx+c=0（a不等于0）的式子，所以常数项就是c
在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。三项式是三个项组成的多项式，最常见的形式是二次三项式 。不过不是所有三项式都是二次的，有的还有更高次数。