设这两个相邻整数分别为x和x+1，则它们的倒数分别为1/x和1/(x+1)。根据题意，我们可以得到以下方程式：1/x + 1/(x+1) = 12/7。
为了解这个方程式，我们可以先通分，得到(x+1+x)/(x(x+1)) = 12/7，化简得到2x+1 = 12x(x+1)/7。进一步整理可以得到84x+42 = 12x^2+12x，化简为12x^2-72x-42=0。
通过求根公式计算，得到x=（6+√78）/6 或 x=（6-√78）/6。由于x和x+1为整数，所以x=（6-√78）/6不符合题意，因此x=（6+√78）/6。
因此，这两个整数分别为（6+√78）/6 和（6+√78）/6 + 1。