1. 必要条件：设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则必有fx(x0,y0)=0和fy(x0,y0)=0。类似一元函数，将fx(x0,y0)=0和fy(x0,y0)=0成立的点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的驻点。
2. 充分条件：设函数在点处具有连续的一阶及二阶偏导数，又如果fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C。当AC-B2>0时，函数在点(x0,y0)处取得极值，且在A<0时取得极大值，在A>0时取得极小值。当AC-B2=0时，函数在点(x0,y0)处可能取得极值，也可能不取得极值。当AC-B2<0时，函数在点(x0,y0)处不取得极值。