一、直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式,再把坐标代入并化简,得到所求轨迹方程,这种方法叫做直接法。
例1、已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。
解析:设点P的坐标为(x,y),则由题意可得。
(1)当x≤3时,方程变为,化简得。
(2)当x>3时,方程变为,化简得。
故所求的点P的轨迹方程是或。
二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件,经过化简变形,可以看出动点满足二次曲线的定义,进而求轨迹方程,这种方法叫做定义法。
例2、已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。
解析:设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。
故所求轨迹方程为。
三、待定系数法
由题意可知曲线类型,将方程设成该曲线方程的一般形式,利用题设所给条件求得所需的待定系数,进而求得轨迹方程,这种方法叫做待定系数法。
例3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,求此双曲线方程。
解析:设双曲线方程为。将y=x-1代入方程整理得。
由韦达定理得。又有,联立方程组,解得。
∴此双曲线的方程为。
四、参数法
选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标,得到动点轨迹的参数方程,再消去参数,从而得到动点轨迹的普通方程,这种方法叫做参数法。
例4、过原点作直线l和抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析:由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程。因为直线和抛物线相交,所以△>0,解得。
设A(),B(),M(x,y),由韦达定理得。
由
消去k得。
又。
∴点M的轨迹方程为