证明极限存在的方法有多种，以下是其中两种常用的方法：
1. 定义法：根据极限的定义，如果函数f(x)在x0处的极限存在，则当x→x0时，f(x)的函数值与f(x0)的距离无限接近于0。因此，我们可以通过证明当x→x0时，f(x)的函数值与f(x0)的距离无限接近于0来证明极限存在。
2. 柯西收敛准则：柯西收敛准则是一种更加普遍的收敛性判定方法，可以用于判定包括极限在内的各种收敛性。根据柯西收敛准则，如果一个序列的任何两项经过有限步的运算后都可以得到一个确定的有限值，则该序列是收敛的。在证明极限存在时，我们可以将序列的前两项进行比较，如果它们之间的差值可以无限接近于0，则该序列是收敛的，即极限存在。
以上是两种常用的证明极限存在的方法，希望能对您有所帮助。