对于任意的正整数n，满足n除以8余数为7，当且仅当n的个位数是1或者9。证明如下：
假设n除以8的商为k，即 $n=8k+r$，其中r为余数，因为n除以8余数为7，所以 $n=8k+7$，则有：
$
\begin{aligned}
n\mod8&=(8k+7)\mod8\\
&\equiv7\mod8\\
&\equiv7+8\cdot(-1)\mod8\\
&\equiv-1\mod8
\end{aligned}
$
因此，我们发现n除以8余数为7，等价于n模8余数为-1，又因为n的个位数对8取模的余数就是n模8的余数，所以n的个位数必须满足取模后余数为1或者9。因此，任何个位数是1或者9的正整数n，都能够满足除以8的余数是7的条件。