微分中值定理与导数的应用主要体现在以下几个方面：
1. 研究函数的极值、最值、确定曲线的凹凸和拐点：通过分析函数的导数和微分中值定理，可以研究函数的极值、最值，以及曲线的凹凸性和拐点。例如，利用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒中值定理等，可以判断函数的单调性、求解函数的极值和拐点。
2. 求渐近线：通过分析函数的导数和微分中值定理，可以求解函数的渐近线。例如，利用泰勒中值定理，可以求解函数在某一区间内的近似值，进而得到函数的渐近线。
3. 求方程的根：利用导数和微分中值定理，可以求解方程的根。例如，通过分析函数的导数，可以判断方程的根的存在性、个数以及性质。
4. 不等式证明：导数和微分中值定理可以用来证明一些数学不等式。例如，利用洛必达法则，可以证明一些复杂的不等式。
5. 中值定理证明题：导数和微分中值定理为中值定理证明题提供了理论依据。例如，利用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒中值定理等，可以证明一些数学命题的正确性。
6. 曲线凹凸性和拐点的判断：通过分析函数的导数和二阶导数，可以判断曲线的凹凸性和拐点。例如，利用拉格朗日中值定理，可以判断曲线在某一区间内的凹凸性和拐点。
7. 应用泰勒公式求解问题：泰勒公式是导数和微分中值定理的推广，可以用于求解函数的近似值、判断函数的性质等。例如，利用泰勒公式，可以求解函数在某一区间内的近似值，判断函数的零点、极值等。
总之，微分中值定理与导数的应用广泛涉及数学、物理、工程等领域，在解决实际问题和理论研究中具有重要意义。