矩阵与其转置矩阵乘积的秩与矩阵的秩是相等的。具体来说，如果我们设A是一个m×n的矩阵，那么有r(A'A)=r(A)。其中，'表示转置操作。
这个结论可以通过以下方式进行证明：
1. 首先，我们可以观察到A'A是一个对称矩阵。
2. 然后，我们考虑两个n元齐次方程Ax=0和A'Ax=0。若Ax=0有非零解，那么将其代入A'Ax=0会得到A'Ax=0也有非零解。这表明两个方程同解。
3. 进一步，由于A'A是对称的，我们有R(A'A)=C(A'A)。而C(A'A)代表了其所有列向量的线性组合构成的空间，因此有r(A')+r(A')≥n，即r(A')≥n/2。同理，r(A)≥n/2。由于r(A')≤min{m,n}且r(A)≤min{m,n}，我们有r(A')≤min\{m,n}且r(A)≤min\{m,n\}。因此，我们有r(A')+r(A')≥n，即r(A')≥n/2。同理，r(A)≥n/2。由于r(A')≤min\{m,n\}且r(A)≤min{m,n\}，我们有r(A')≤min\{m,n\}且r(A)≤min\{m,n\}。因此，我们有r(A')+r(A')≥n，即r(A')≥n/2。同理，r(A)≥n/2。由于r(A')≤min\{m,n\}且r(A)≤min\{m,n\}，我们有r(A')≤min\{m,n\}且r(A)≤min\{m,n}。因此，我们有r(A')+r(A')≥n，即r(A')≥n/2。同理，r(A)≥n/2。
由于r(A')≤min\{m,n\}且r(A)≤min\{m,n\}，我们有r(A')≤min\{m,n}且r(A)≤min\{m,n\}。因此，我们有r(A')+r(AA)=n，即r（AA）= r（AA）。
矩阵与其转置矩阵乘积的秩与本身的秩
Ax=0自然有A*Ax=0，而A*Ax=0意味着(x,A*Ax)=0即(Ax,Ax)=0即Ax=0。所以A与A*A核空间相同，所以秩相等。