定理：三个向量 a ， b ， c 共面的充分必要条件是 (a,b,c)=0。混合积的性质：(1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a);(2) (a×b)c=a(b×c)。
定义：设 a ， b ， c 是空间中三个向量，则 ( a× b) c 称为三个向量 a ， b ， c 的混合积，记作 [a b c] 或 ( a,b,c) 或 ( abc).
设 a ， b ， c 为空间中三个向量，则 |( a× b) c| 的几何意义表示以 a ， b ， c 为棱的平行六面体的体积 .
因为 ( a,b,c)=( a× b) c=| a× b|| c|cos 〈 a × b ， c 〉=
|ax bx cx|
|ay by cy|
|az bz cz|
向量的混合积可以用来计算四面体的体积V=1/6*abs([AB AC AD])
，从而混合积 ( a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ ( a× b ， c ) 是锐角还是钝角，即 a×b 与 c 是指向 a ， b 所在平面的同侧还是异侧，这相当于 a ， b ， c 三个向量依序构成右手系还是左手系 .
计算方法： A=(A1,A2,A3) B=(B1,B2,B3) C=(C1,C2,C3)
V=|A B C|=A1B2C3+A2B3C1+A3B1C2-C1B2A3-A2B1C3-A1B3C2
3×3行列式“\”方向的数相乘相加减去“/”方向的数相乘相减。
混合积公式
三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设a ，b ，c是空间中三个向量，则 (a×b)·c称为三个向量a，b，c的混合积，记作[a b c]或 (a,b,c) 或 (abc)。