回答如下：
这个要分为几个阶段
当地有点名气，是在2000年梅西加盟巴萨的时候。还有媒体采访过他，可能是他的进球效率比较高，38场比赛攻入31球。然后就是2004年10月代表巴萨正式比赛。
让世界认识他，当然是2005年的世青赛，世青赛的最佳球员和金靴奖。
让世界认可他，那就是2007年3月11日的西班牙国家德比中的帽子戏法和2007年4月18日面对赫塔菲的经典进球。
让世界折服于他，就在于08-09赛季的出色表现，多次替补救主、绝杀，巴萨时尚第一个三冠王......
梅西是那一年当时多大开始出名的啊
2004年10月16日，巴塞罗那客场对阵西班牙人，梅西第一次登上了西甲联赛的赛场。2005年5月2日，在对阿尔巴塞特的比赛中，梅西替补出场攻入个人在西甲的第一个进球。成名于该年世界青年赛，不仅帮助球队获得冠军，还捧得金靴、金球两x誉。挑剔一些的说呢，2007国王杯巴萨对赫塔菲那场比赛，他连过数人打进球使他被誉为马拉多纳再世。
梅西是那一年当时多大开始出名的啊
2003年，17岁10个月零7天成名于巴萨。
2003年，梅西在巴萨对阵波尔图的一次友谊赛中首次获得了代表巴萨一线队的参赛资格，仅仅一年之后，年仅17岁的梅西就代表巴萨出现在西甲对阵西班牙人的比赛中，梅西也借此成为了成为巴萨当时历史上第三年轻的出场者和俱乐部在联赛中出场的最年轻球员