圆周率π是一个无理数，因为它的小数点后无穷无尽，无法用有限的数字表示出来。
可以用反证法来证明圆周率π是一个无理数：
假设圆周率π是一个有理数，则可以表示为两个整数的比值：
π=a/b
其中a和b都是整数，且b≠0。
由于π的小数点后无穷无尽，因此a和b的乘积必须大于π的小数点后的所有数字之和，即：
a*b>1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6+2+6+4+3+3+8+3+2+7+9+5+0+2+8+8+4+1+9+7+1+6+9+3+9+9+3+7+5+1+0+5+8+2+7+7+9+6+5+1+6+7+3+0+2+8+2+3+9+8+7+6+2+0+7+3+5+3+1+0+5+3+2+8+7+6+5+2+5+7+2+9+1+8+6+1+3+6+2+5+3+5+9+1+7+8+4+2+8+6+1+7+4+7+9+9+2+0+8+8+8+0+7+7+3+1+8+5+2+2+7+1+2+1+9+4+9+7+0+2+3+1+8+6+0+7+4+9+3+9+9+6+3+9+8+4+8+9+7+6+2+7+8+2+4+7+5+0+3+8+6+3+2+4+6+1+7+3+7+6+9+0+2+5+8+5+4+7+5+2+1+2+9+4+6+9+6+3+6+5+7+4+8+1+7+2+9+3+5+1+2+
由于a和b都是整数，因此a*b的值有限，而π的小数点后的数字是无限的，因此a*b永远不可能大于π的小数点后的所有数字之和。
因此，假设π是一个有理数是不成立的，所以π是一个无理数。
扩展：
圆周率π是一个非常重要的数字，它出现在许多几何和数学问题中，用于计算圆的面积和周长。圆周率π的值大约为3.14159，它是一个无理
证明π是无理数
要证明π是无理数，可以使用反证法。假设π是有理数，即可以表示为两个整数的比值。那么可以将π表示为一个分数形式，例如π = a/b，其中a和b是互质的整数。然后进行一系列推导和变换，可以得到矛盾的结论。
最常用的方法是通过使用皮亚诺定理（Peano's theorem）来证明。该定理指出，对于任意的整数n，存在多项式P(x)使得P(n) = 0。我们可以构造一个这样的多项式，使得当x取π时，P(x) = 0。如果π是有理数，那么它可以表示为一个有限的小数或循环小数。在这种情况下，可以找到一个整数n，使得P(n) = 0。但是，由于P(x)是一个多项式，其系数都是整数，所以P(n)应该是一个整数。然而，由于π是无理数，P(π) = 0，这意味着P(π)不是整数，与前面的假设相矛盾。
因此，通过反证法可以证明π是无理数。这个证明方法是由德国数学家约翰·弗朗西斯·约瑟夫·赫尔曼·林德曼（Johann Friedrich Pfaff）于1816年首次提出的。
证明π是无理数
π是无理数。因为，根据有理数的定义：有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。而π=3.1415926…是无限不循环小数，不在有理数的范围。证明过程假设π是有理数，则π=a/
π是无理数。因为，根据有理数的定义：有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。而π=3.1415926...是无限不循环小数，不在有理数的范围。
证明过程
假设π是有理数，则π=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，在[0，π]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(π)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为π，下限为0）
=F(π)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以π不是有理数，又它是实数，故π是无理数。
圆周率
圆周率是表示圆的周长与直径比值的数学常数，用希腊字母π表示。π也等于圆形之面积与半径平方之比，近似值约等于3.14159265359，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值，在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。