对于不等式 x + m ≤ 1，如果它只有三个正整数解，那么我们可以设这三个正整数解分别为 a, b, c，并满足 a < b < c。
由于 x + m ≤ 1，我们可以得出以下几个关系：
a + m ≤ 1
b + m ≤ 1
c + m ≤ 1
我们可以逐一解上述不等式，得到以下结果：
a ≤ 1 - m
b ≤ 1 - m
c ≤ 1 - m
因为 a < b < c，所以有以下关系：
a ≤ b - 1
b ≤ c - 1
将上述结果代入得到以下不等式：
1 - m ≤ b - 1
b - 1 ≤ c - 1
我们可以观察到 a, b, c 都是正整数，所以 a, b, c 至少是连续的三个正整数。因此，可以推导出以下条件：
a = b - 1
b = c - 1
将上述等式代入不等式 1 - m ≤ b - 1 中，我们可以解得：
1 - m ≤ b - 1
-m ≤ b - 2
m ≥ 2 - b
因为 b 是正整数，所以 2 - b ≥ 1 - 取 b 的最大值为 1，所以我们可以得到：
m ≥ 2 - 1
m ≥ 1
所以，m 的取值范围是大于等于 1。