圆周率π是一个无理数，因为它的小数点后无穷无尽，无法用有限的数字表示出来。
可以用反证法来证明圆周率π是一个无理数：
假设圆周率π是一个有理数，则可以表示为两个整数的比值：
π=a/b
其中a和b都是整数，且b≠0。
由于π的小数点后无穷无尽，因此a和b的乘积必须大于π的小数点后的所有数字之和，即：
a*b>1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6+2+6+4+3+3+8+3+2+7+9+5+0+2+8+8+4+1+9+7+1+6+9+3+9+9+3+7+5+1+0+5+8+2+7+7+9+6+5+1+6+7+3+0+2+8+2+3+9+8+7+6+2+0+7+3+5+3+1+0+5+3+2+8+7+6+5+2+5+7+2+9+1+8+6+1+3+6+2+5+3+5+9+1+7+8+4+2+8+6+1+7+4+7+9+9+2+0+8+8+8+0+7+7+3+1+8+5+2+2+7+1+2+1+9+4+9+7+0+2+3+1+8+6+0+7+4+9+3+9+9+6+3+9+8+4+8+9+7+6+2+7+8+2+4+7+5+0+3+8+6+3+2+4+6+1+7+3+7+6+9+0+2+5+8+5+4+7+5+2+1+2+9+4+6+9+6+3+6+5+7+4+8+1+7+2+9+3+5+1+2+
由于a和b都是整数，因此a*b的值有限，而π的小数点后的数字是无限的，因此a*b永远不可能大于π的小数点后的所有数字之和。
因此，假设π是一个有理数是不成立的，所以π是一个无理数。
扩展：
圆周率π是一个非常重要的数字，它出现在许多几何和数学问题中，用于计算圆的面积和周长。圆周率π的值大约为3.14159，它是一个无理
证明π是一个无理数
以下是证明π是一个无理数的方法:
假设圆的半径为1，那么圆的周长就是2π。由于π被假设为有理数，则存在整数a和b使得2π = 2a/b。进一步变换得到π = a/b。而我们假设a和b是互质的整数，所以a和b没有公因子。
然而，我们知道圆的周长是无限的，而且是无限不循环小数。由于圆周率是圆的周长的比值，所以圆周率也是无限不循环小数。然而，假设π = a/b，则a/b的小数表示必然是有限的或循环的。这与圆周率为无限不循环小数的事实相矛盾。因此，假设圆周率是有理数的假设是错误的，圆周率是无理数。
虽然皮菲斯特拉托斯提出了这个证明，但直到十九世纪才有了更严格和详细的证明。数学家连恩哈德·欧拉和卡尔·维尔斯特拉斯在18世纪和19世纪分别提出了更为完善的证明方法，进一步确认了圆周率是无理数的结论。
证明π是一个无理数
假设π是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即π = a/b，其中a和b是互质的整数。
我们知道，π是一个无限不循环小数，即它的小数部分是无限不重复的。根据这个特性，我们可以通过构造一个矛盾来证明π是一个无理数。
首先，我们可以使用π的定义公式，如π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...，这是一个无限级数。假设我们截取这个级数的前n项，得到一个有理数x。
然后，我们可以通过增加级数的项数n，使得x逼近π。也就是说，我们可以找到一个足够大的n，使得|x - π| < 1/b^2，其中b是π的分母。
接下来，我们考虑级数的下一项1/(2n+1)，将其加到x上得到新的有理数y。根据级数的性质，我们可以得到以下不等式：|y - x| = 1/(2n+1) < 1/b^2。
现在，我们来观察y和π之间的关系。根据前面的构造，我们知道|x - π| < 1/b^2，而|y - x| < 1/b^2。通过将这两个不等式相加，我们得到：|y - π| < 2/b^2。
注意到这里的不等式右边是一个常数，而左边是y和π之间的差值。这意味着y和π之间的差值也是一个有理数，并且满足|y - π| < 2/b^2。
然而，这与π是一个无理数的定义相矛盾。根据无理数的定义，对于任何有理数x和正整数b，总存在一个无理数y，使得|y - x| < 1/b^2。因此，我们得出结论：π不可能是一个有理数，即π是一个无理数。