圆周率 π 是指一个圆的周长与其直径之比，在数学上被证明为无理数。以下是一个简要的证明思路：
假设 π 是有理数（可以表示为两个整数的比），即 π = a/b，其中 a 和 b 是互质的整数。
考虑一个正方形内切于该圆，其边长为 b。由于该正方形是内切于圆的，所以圆的直径即为正方形的对角线长度。
根据勾股定理，正方形的对角线长 b 是一个有理数，并且可以表示为 a 的倍数（b = a√2）。由于 a 和 b 是互质的，√2 也是无理数。
然而，根据代数学的定理，如果一个有理数（在本例中是 b）与一个无理数（在本例中是 √2）相乘，那么结果将是一个无理数。所以，由 a/b = π 和 b = a√2 可以得出 π 是一个无理数。
综上所述，圆周率 π 被证明为一个无理数。
如何证明圆周率π为无理数
因为如果π是有理数，那么就可以表示为两个整数相除的形式，即π=p/q。
然而，可以通过三角函数的定义和三角恒等式推导出π的无限不循环小数表示形式。
而无限不循环小数不可能表示为有限的分数形式，因此π必须是无理数。
进一步延伸，这个结论是十分重要的，因为π是数学中一个重要的常数，涉及到许多数学领域和应用，包括几何学、解析数论、物理学等。