回答如下：三角形中线段的平方和最小值问题可以通过使用勾股定理和三角形面积公式来解决。具体步骤如下：
1. 假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，它们的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。
2. 计算三角形的中线段长度。三角形的中线段分别为AD、BE、CF，其中D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。它们的长度分别为：
AD² = [(x2-x3)² + (y2-y3)²]/4
BE² = [(x1-x3)² + (y1-y3)²]/4
CF² = [(x1-x2)² + (y1-y2)²]/4
3. 计算三角形的面积。使用海伦公式计算三角形的半周长s，然后使用三角形面积公式计算面积S：
s = (AB+BC+AC)/2
S = sqrt(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))
4. 计算中线段长度的平方和。将步骤2中计算出的中线段长度平方相加，得到中线段长度的平方和L²：
L² = AD² + BE² + CF²
5. 求解最小值。将步骤3中计算出的面积S代入L²中，得到一个关于三角形三个顶点坐标的函数L²(S)，然后求解该函数的极小值点，即可得到三角形中线段平方和的最小值。
需要注意的是，该问题的解法存在多种，上述方法只是其中一种。
三角形中线段平方和最小值问题
三角形中三边的垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，这点到三顶点距离平方和最小。